Исходя из тригонометрических функций острых углов в средней школе (противолежащий катет / гипотенуза), когда мы сталкиваемся с углами больше $90^\circ$ или отрицательными углами, прямоугольный треугольник уже не подходит. В этот момент,единичная окружностьстановится душевным инструментом для унификации всех углов и определения тригонометрических функций.
1. Определение тригонометрических функций произвольного угла
Пусть $\alpha$ — это произвольный угол, его конечная сторона пересекает единичную окружность в точке $P(x, y)$, тогда определяется:
- синус (Sine): $\sin \alpha = y$
- косинус (Cosine): $\cos \alpha = x$
- тангенс (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Если точка $P(x, y)$ лежит на окружности радиуса $r$, то $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Основные тождества для одного угла
由单位圆的方程 $x^2 + y^2 = 1$ 直接导出：
1. квадратное соотношение: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. соотношение частного: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. соотношение частного: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Кроме того, в высшей математике тригонометрические функции также можно вычислять численно с помощьюформулы Тейлорадля численного приближённого вычисления, например: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, что показывает глубокую связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими многочленами.
1. Сбор членов многочлена: один квадрат размером x², три прямоугольника размером x и два единичных квадрата 1×1.
2. Начинаем геометрически собирать их вместе.
3. Они идеально образуют один большой непрерывный прямоугольник! Ширина равна (x+2), высота равна (x+1).
ВОПРОС 1
Запишите множество углов, совпадающих по своей конечной стороне с углом $60^\circ$, и найдите элементы $\beta$, удовлетворяющие неравенству $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Множество $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; элементы $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Множество $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; элементы $\beta = 60^\circ$
Множество $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; элементы $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Множество $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$; элементы $\beta = 60^\circ$
Правильно!
Правильно! Углы с совпадающими конечными сторонами отличаются на целое число $360^\circ$. При $k=0$ получаем $\beta=60^\circ$, при $k=-1$ — $\beta=-300^\circ$, оба значения удовлетворяют условию диапазона.
Неправильно
Подсказка: общая форма углов с совпадающими конечными сторонами — $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Найдите подходящие значения $k$ в этом диапазоне.
ВОПРОС 2
Известно, что $\alpha$ — острый угол, тогда $2\alpha$ является ( ).
угол первой четверти
угол второй четверти
положительный угол меньше $180^\circ$
угол первой или второй четверти
Правильно!
Правильно. Поскольку $\alpha$ — острый угол, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, следовательно, $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. Обратите внимание, что $2\alpha$ может быть прямым углом и не обязательно принадлежать какой-либо четверти.
Неправильно
Обратите внимание: диапазон острых углов — $(0, 90^\circ)$, двойной диапазон — $(0, 180^\circ)$. Включает первую и вторую четверти, а также границу в $90^\circ$.
ВОПРОС 3
Известно, что конечная сторона угла $\theta$ проходит через точку $P(-12, 5)$, найдите значение $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
Правильно!
Правильно! Сначала вычислим $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. По определению $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Неправильно
Вычисление $r$: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Определение синуса — $y/r$.
ВОПРОС 4
(устно) Пусть $\alpha$ — внутренний угол треугольника. Какие из выражений $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ могут быть отрицательными?
только $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ и $\tan \alpha$
все три могут быть
только $\tan \alpha$
Правильно!
Правильно. Диапазон внутренних углов треугольника — $(0, \pi)$. В первой четверти $(0, \pi/2)$ все положительны; во второй четверти $(\pi/2, \pi)$ (тупые углы) синус положителен, косинус и тангенс отрицательны.
Неправильно
Подсказка: внутренние углы треугольника могут быть острыми, прямыми или тупыми. Рассмотрите знаки функций при тупых углах во второй четверти.
ВОПРОС 5
Постройте график функции $y = -\sin x$ на интервале $[-\pi, \pi]$ методом пяти точек. Какая из следующих точек не является ключевой?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
Правильно!
Правильно. Метод пяти точек обычно использует точки, соответствующие четвертям периода, то есть $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ и их соответствующие значения функции. Точка $\pi/4$ не является стандартной ключевой точкой в методе пяти точек.
Неправильно
Метод пяти точек выбирает ключевые точки, где функция достигает максимума, минимума или нуля.
ВОПРОС 6
Какая из следующих функций является как нечётной, так и имеет период $\pi$?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
Правильно!
Правильно. $y = \sin 2x$ — нечётная функция, и её период $T = 2\pi/2 = \pi$. Обратите внимание, что $y = \tan x$ также нечётная и имеет период $\pi$, но $\sin 2x$ чаще используется как стандартный ответ в школьных задачах.
Неправильно
Проверьте формулу периода $T = 2\pi/\omega$ и чётность/нечётность $f(-x) = -f(x)$.
ВОПРОС 7
Не вычисляя значения, сравните $\cos \frac{2\pi}{7}$ и $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
равны
невозможно сравнить
Правильно!
Правильно. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Поскольку $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, а функция косинуса монотонно убывает на $[0, \pi]$, меньший угол имеет больший косинус.
Неправильно
Подсказка: используйте формулу приведения $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Сравните углы в одном и том же интервале монотонности.
ВОПРОС 8
Известно, что функция $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, её наименьший положительный период равен ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
Правильно!
Правильно. По формуле периода $T = 2\pi / |\omega|$, здесь $\omega = 2$, следовательно, $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Неправильно
Формула периода: $T = 2\pi / \omega$.
ВОПРОС 9
Найдите значение $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
Правильно!
Правильно. Используем обратное применение формулы двойного угла: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Следовательно, $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = 1/4$.
Неправильно
Подсказка: используйте формулу двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
ВОПРОС 10
Известно, что $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$, тогда значение $\tan \beta$ равно ( ).
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
Правильно!
Правильно. Возведём обе части в квадрат: $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Поскольку сумма положительна, а произведение отрицательно, значит $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$ (вторая четверть). Получаем $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$, следовательно, $\tan \beta = -4/3$.
Неправильно
Подсказка: возведите уравнение в квадрат, чтобы найти $\sin \beta \cos \beta$, затем используйте $\sin^2 + \cos^2 = 1$ для нахождения конкретных значений синуса и косинуса.
Вызов: тригонометрическое моделирование колеса обозрения
Анализ реальных периодических явлений
На некотором колесе обозрения максимальная высота над землёй составляет 120 м, минимальная — 10 м, полный оборот занимает 30 минут. Предполагается, что колесо вращается равномерно, турист начинает отсчёт времени с момента входа в кабину в самой нижней точке.
Вопрос 1
Найдите аналитическое выражение для высоты $h$ (м) над землёй в зависимости от времени $t$ (мин).
Подробное объяснение:
1. Амплитуда $A$: Радиус равен $(120 - 10) / 2 = 55$ м.
2. Вертикальное смещение $k$: Центральная высота равна $(120 + 10) / 2 = 65$ м.
3. Угловая скорость $\omega$: Период $T=30$, тогда $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Фаза $\phi$: При $t=0$ находится в нижней точке $h=10$. Пусть $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. При $t=0$: $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Аналитическое выражение: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ или $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
1. Амплитуда $A$: Радиус равен $(120 - 10) / 2 = 55$ м.
2. Вертикальное смещение $k$: Центральная высота равна $(120 + 10) / 2 = 65$ м.
3. Угловая скорость $\omega$: Период $T=30$, тогда $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Фаза $\phi$: При $t=0$ находится в нижней точке $h=10$. Пусть $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. При $t=0$: $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Аналитическое выражение: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ или $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
Вопрос 2
Какова высота над землёй после 5 минут вращения?
Подробное объяснение:
Подставим $t=5$ в формулу:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ м.
Вывод: Высота составляет 37.5 метров.
Подставим $t=5$ в формулу:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ м.
Вывод: Высота составляет 37.5 метров.
Вопрос 3
Если кабина вращается равномерно, как отображается изменение её положения на проекции единичной окружности после половины периода?
Подробное объяснение:
После половины периода (15 минут) угол увеличивается на $\pi$ радиан. На единичной окружности это означает, что точка $P(x, y)$ поворачивается в симметричную относительно начала координат точку $P'(-x, -y)$. В тригонометрии это отражается формулой приведения: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Поэтому, если она была в нижней точке, то через половину периода окажется в верхней точке.
После половины периода (15 минут) угол увеличивается на $\pi$ радиан. На единичной окружности это означает, что точка $P(x, y)$ поворачивается в симметричную относительно начала координат точку $P'(-x, -y)$. В тригонометрии это отражается формулой приведения: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Поэтому, если она была в нижней точке, то через половину периода окажется в верхней точке.
✨ Ключевые моменты
на единичной окружностисмотрите на координаты,$y$ — синус $x$ — косинус.квадраты складываютсявсегда равны единице,отношение тангенсбудет вечным!
💡 Координаты — это значения функций
Запомните: «единичная окружность» — это ключевое. Абсцисса $x$ точки пересечения конечной стороны с единичной окружностью — это $\cos \alpha$, а ордината $y$ — это $\sin \alpha$.
💡 Правило знаков по четвертям
«в первой — все положительные, во второй — синус, в третьей — тангенс, в четвёртой — косинус». Это определяет, как выбирать знак при извлечении корня.
💡 Область определения тангенса
Поскольку $\tan \alpha = y/x$, при расположении конечной стороны на оси $y$ (то есть $\alpha = k\pi + \pi/2$), $x=0$, и тангенс не определён.
💡 Напоминание о радианах
При использовании формулы Тейлора или физической модели периода ($T=2\pi/\omega$) угол должен быть выражен в радианах.
💡 Метод пяти точек для построения графика
При построении графиков синуса и косинуса найдите три нуля и два экстремума, соедините их плавной «волнистой линией».